XOR回路とNAND回路をシーケンス制御で学ぶ｜なぜNANDが重要なのか

前回の記事では、NOT回路、OR回路、AND回路を確認しました。

今回は少し発展して、XOR回路とNAND回路をシーケンス制御シミュレータで見ていきます。

XORやNANDは、最初は少し分かりにくく感じるかもしれません。 ただ、1つずつ条件を見ていくと、考え方はかなりシンプルです。

特にNAND回路は、デジタル回路やコンピュータの仕組みを理解するうえで重要です。 「NAND なぜ重要？」という疑問にも、接点回路とブール代数をつなげながら整理していきます。

XOR回路とは

XOR回路は、どちらか一方だけがONのときに出力がONになる回路です。

別名で、排他的論理和とも呼ばれます。

言葉にすると、次のような動きです。

AだけONならRがON
BだけONならRがON
AとBが両方OFFならRはOFF
AとBが両方ONならRはOFF

OR回路は「どちらか一方でもONならON」でした。 一方でXOR回路は、「両方ON」のときはOFFになります。

XOR回路を接点で作る

シーケンス制御の接点でXOR回路を作る場合、次の2つの条件を並列にします。

AがON かつ BがOFF
AがOFF かつ BがON

接点で表すと、次のようになります。

AのNO接点 と BのNC接点を直列
AのNC接点 と BのNO接点を直列
この2つの枝を並列に接続

XOR回路の真理値表は次の通りです。

A	B	R
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

ブール代数では、XORを次のように表します。

R = A XOR B
R = A ⊕ B
R = A·¬B + ¬A·B

式は少し長くなりますが、意味はそのままです。

• Aが1でBが0
• Aが0でBが1

このどちらかのときにRが1になります。

NAND回路とは

次にNAND回路です。

NAND回路は、AND回路の反対の動きをする回路です。

AND回路は、AとBが両方ONのときだけ出力ONでした。 NAND回路はその逆で、AとBが両方ONのときだけ出力OFFになります。

AとBが両方ONのときだけ出力がOFF
それ以外は出力がON

NAND回路の真理値表は次の通りです。

A	B	出力
0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	0

ブール代数では、NANDを次のように表します。

R = NOT(A AND B)
R = ¬(A·B)

NAND回路を接点で作る

NAND回路は、いくつかの作り方があります。

論理だけを接点で表すなら、AのNC接点とBのNC接点を並列にする方法があります。

AがOFFなら出力ON
BがOFFなら出力ON
AとBが両方ONになったときだけ、どちらの枝も切れて出力OFF

ただし、シーケンス制御の回路としては「何を出力として見るか」をはっきり分ける必要があります。 今回使う回路では、Rは最終出力ではなく、AとBのAND条件で動作する中間リレーです。 そして、RのNC接点でLAMPを点灯させたときのLAMPの動きをNAND出力として見ます。

流れは次の通りです。

AのNO接点 と BのNO接点を直列にして、Rを動作させる
Rが動作していないときは、RのNC接点が閉じてLAMPが点灯する
Rが動作したときは、RのNC接点が開いてLAMPが消灯する

つまり、RそのものはANDの動きです。 一方で、RのNC接点を通ったLAMPは、ANDの反対であるNANDの動きになります。

A	B	R	LAMP
0	0	0	1
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	1	0

この表のうち、NANDとして見る出力はRではなくLAMPです。 AとBが両方ONのときだけLAMPがOFFになり、それ以外ではLAMPがONになります。

NANDがデジタル回路で重要な理由

NAND回路は、デジタル回路の世界でとても重要です。

理由は、NAND回路だけを組み合わせることで、NOT、AND、ORなどの基本的な論理ゲートを作れるからです。

このような性質から、NANDは万能ゲートと呼ばれることがあります。

NANDだけでNOTを作る

NAND回路のAとBに同じ信号を入れると、NOT回路になります。

R = NAND(A, A)
R = ¬A

AがONなら、NANDの出力はOFF。 AがOFFなら、NANDの出力はON。

つまり、Aの反対の動きになります。

NANDだけでANDを作る

AND回路もNANDから作れます。

まずNANDで、ANDの反対を作ります。

X = NAND(A, B)
X = ¬(A·B)

その出力Xをもう一度NANDに同じ信号として入れると、NOTとして使えます。 つまり、別のNOTゲートを用意するのではなく、NAND(X, X) をNOTとして使います。

R = NAND(X, X)
R = A·B

NANDだけで考えるなら、NANDで作った結果をもう一度NANDのNOTとして反転すればAND回路になります。

NANDだけでORを作る

OR回路もNANDから作れます。

ここでは、ド・モルガンの法則という考え方を使います。

A + B = ¬(¬A · ¬B)

つまり、AとBをそれぞれNANDで反転してから、もう一度NANDに入れるとOR回路になります。

A' = NAND(A, A)
B' = NAND(B, B)
R = NAND(A', B')
R = A + B

ここでも、A' や B' を作るために別のNOTゲートを使っているわけではありません。 NANDに同じ信号を2つ入れることで、NANDをNOTとして使っています。

最初は式だけ見ると難しく感じますが、意味はこうです。

• Aではない
• Bではない
• その両方が成立する場合だけOFF
• それ以外はON

結果として、AまたはBがONなら出力ONになります。

コンピュータの中身も0と1の組み合わせ

コンピュータやデジタル回路は、突き詰めると0と1の組み合わせで動いています。

0か1
OFFかON
電気が通らないか、通るか
条件が成立しないか、成立するか

この考え方は、シーケンス制御の接点回路ともよく似ています。

シーケンス制御では接点を直列・並列に組み合わせます。 デジタル回路では、論理ゲートを組み合わせます。

見た目は違っても、ブール代数で考えるとかなり近い世界です。

まとめ

今回は、XOR回路とNAND回路をシーケンス制御シミュレータで確認しました。

ポイントは次の通りです。

• XOR回路は、AとBのどちらか一方だけがONのときに出力ON
• XORは A·¬B + ¬A·B と表せる
• NAND回路は、AND回路の反対
• 今回の接点回路では、RはAND動作、RのNC接点で点灯するLAMPがNAND出力
• NAND出力はAとBが両方ONのときだけOFF
• NANDだけでNOT、AND、ORなどの基本回路を作れる
• そのため、NANDはデジタル回路で重要な万能ゲートと呼ばれる

シーケンス制御の接点回路を使うと、ブール代数や論理ゲートの考え方を目で見て理解しやすくなります。

最初は「接点がつながるか、切れるか」を追うだけで十分です。 そこから少しずつ、NOT、OR、AND、XOR、NANDという論理回路の見方に広げていくと、デジタル回路の基本も理解しやすくなります。